En esta primera clase se repasan los conceptos básicos necesarios de precálculo que el estudiante debe tener para poder tomar con éxito el curso de Análisis de Fourier.   Se aprovecha esta clase para presentar el software Geogebra y que el estudiante se familiarice con el mismo, aprendiendo cómo utilizarlo para hacer representaciones gráficas de funciones y otras utilidades que serán de gran ayuda para que comprenda mejor las ideas que se le presentarán durante el curso.

En esta clase trataremos de que adquiera una idea intuitiva de lo que significa obtener la serie trigonométrica de Fourier de una función.  No ahondaremos en detalles de cálculos en esta clase, pero si lo haremos en la siguiente.

En esta clase realizaremos los cálculos para encontrar la serie de Fourier de f(t)=t^2, -Pi<t<Pi, T=2Pi y así mostrar que efectivamente la combinación lineal que estudiamos en la clase anterior corresponde a la serie de Fourier para esa función. En esta clase hay materiales descargables:  los archivos Geogebra que se muestran en el video y las notas con los cálculos mostrados.

En esta clase se calcula la serie trigonométrica de Fourier de un tren de ondas rectangulares.  Entre otras cosas importantes, se estudia el factor (-1)^n-1 que aparece en el cálculo de coeficientes de la serie de Fourier y se muestra la forma como se redefinirá  el índice "n" de la sumatoria para que se obtenga un resultado en una forma más útil, especialmente para fines de graficar en la computadora.

En esta clase se encuentra la serie de Fourier para un tren de pulsos triangulares.  Al final se hace conciencia al estudiante de lo importante que es analizar la función periódica f(t) cuya serie de Fourier se está calculando ya que al hacerlo se puede evitar realizar una gran cantidad de cálculos que den como resultado cero al final para alguno de los coeficientes de la serie.

En la siguiente clase se detalla el tipo de análisis que debe realizarse para poder determinar de antemano si algunos de los coeficientes en la serie de Fourier son cero.

En esta clase se repasa el concepto de paridad de una función y se aplica para analizar cuáles son las componentes de paridad par e impar en la serie de Fourier.  Finalmente se muestra cómo el analizar la paridad de la función periódica f(t) cuya serie de Fourier se quiere obtener puede ahorrar mucho trabajo algebraico ya que permite, de una manera fácil,  determinar inmediatamente si alguno(s) de los coeficientes de la serie de Fourier son nulos.

En esta clase se hace uso de lo aprendido en la anterior con respecto a lo importante que es analizar la paridad de la función periódica cuya serie de Fourier se quiere encontrar.  En el ejemplo que se resuelve en esta clase se trata de una función impar, lo cual permite entonces afirmar que los coeficientes a0 y an, n=1, 2,... son cero y concentrarnos únicamente en encontrar el valor de los coeficientes bn, n=1, 2,...

En esta clase se enuncian cuáles son las condiciones suficientes para que una función periódica f(t) tenga una representación en serie de Fourier.

En los recursos encontrará un enlace a un video en YouTube que le permitirá apreciar la importancia en la electrónica de algunas de las funciones periódicas que hemos estudiado anteriormente.

En esta clase se repasan los tipos de discontinuidad que pueden presentarse y luego se discute la convergencia de la serie de Fourier en el caso particular de funciones con discontinuidades finitas (o "de salto").

El archivo Geogebra utilizado para esta clase puede descargarlo para que lo estudie detenidamente.

En esta clase se explica el fenómeno de Gibbs, el cual consiste en esas oscilaciones rápidas en la gráfica obtenida de las sumas parciales de la serie de Fourier  en los puntos de discontinuidad de salto (cuando los hay) de la función periódica f(t).  Se muestra que son inevitables, ya que no se originan por algún tipo de error de redondeo o porque el software utilizado para construir las gráficas no tiene la suficiente capacidad de cálculo, sino más bien son parte de la naturaleza de las funciones periódicas que al sumarse producen ese efecto cerca de los puntos de discontinuidades de salto.

También se muestra como calcular qué tan grandes serán las amplitudes cerca de los puntos de discontinuidades de salto de las funciones periódicas f(t) que los posean.

En esta clase se hace una interpretación física de la serie de Fourier correspondiente a cierta función periódica f(t) escogida apropiadamente; la serie de Fourier para esa función contiene únicamente términos senoidales, lo que permite interpretarla en términos de la suma de coordenadas Y de partículas que giran con rapidez angular constante.

Dentro de los recursos puede descargar la aplicación Geogebra utilizada en esta clase, así como visualizar un video muy entretenido donde muestran cómo dibujar a Homero Simpson utilizando las ideas de Fourier y lo que se discutió en esta clase.

En esta clase se introduce el Teorema de Parseval  y se resuelve un primer ejemplo relacionado con el famoso problema de matemática conocido como "El problema de Basilea".  En esta clase puede encontrar un enlace a un video que describe de forma muy bonita en qué consiste el problema de Basilea, además de proporcionar datos históricos que enriquecen mucho al estudiante.

En esta clase se resuelve un segundo ejemplo sobre el Teorema de Parseval.  Se trata de la aplicación de dicho teorema para calcular la potencia promedio disipada a través de una resistencia, la cual está sometida a un voltaje periódico.   Puede encontrar en los materiales descargables de esta clase los detalles de los cálculos mostrados en el video.

En esta clase se calcula el error cuadrático medio que se comete al utilizar una serie finita de Fourier como aproximación de una función periódica f(t).  Se adjunta como material descargable el archivo Geogebra que se muestra en el video, el cual permite visualizar tanto la aproximación gráfica de la función periódica f(t) mediante la serie finita de Fourier, así como el valor del error cuadrático medio correspondiente.

También, como parte del material descargable que encontrará en esta clase, encontrará una serie de ejercicios propuestos para que practique calcular la serie de Fourier correspondiente  de algunas funciones periódicas.  Recuerde que estos ejercicios son para que usted practique en casa, por lo que no requiere enviarlos.

En esta clase se repasa los conceptos de funciones con paridad par e impar.  Posteriormente se muestran integrales que permiten calcular de manera más eficiente los desarrollos en series de cosenos o senos, dependiendo de la paridad, si la tiene, de la función periódica f(t).

Se muestra que resulta más conveniente calcular los coeficientes de la serie de Fourier utilizando las integrales mostradas en esta sección, para el caso de funciones con paridad definida, que utilizar aquellas generales presentadas en la sección anterior.

En esta clase se estudia la denominada simetría de media onda para funciones periódicas, así como aquellos en los que además de presentar esa simetría, la función periódica tiene una paridad definida también.

En cada caso se presentan las expresiones necesarias para calcular la serie de Fourier correspondiente y se ejemplifica su aplicación utilizando un problema resuelto en otra clase a partir de las definiciones convencionales para el cálculo de los coeficientes de la serie de Fourier.

La clase presenta mucho material gráfico para ayudar al estudiante a comprender las simetrías que se estudian en esta clase.

En esta clase se muestra cómo, realizando una traslación vertical, es posible obtener una relación sencilla entre una función periódica dada, que no tiene simetría, y otra que, además de poseer una simetría dada, es conocida su serie de Fourier.

El ejemplo está relacionado con las señales PWM, que son de gran utilidad en electrónica.  En los materiales de apoyo se deja el enlace a un canal de YouTube especializado en electrónica donde, de una forma sencilla y amena, el estudiante podrá relacionar lo aprendido en esta clase con aplicaciones a la electrónica, y así poder encontrarle más sentido a lo que está aprendiendo.

En esta clase se explica cómo expandir una función f(t) no periódica, definida en un intervalo (0,b), a una función periódica de paridad par, utilizando la serie de cosenos de Fourier.

En esta clase se explica cómo expandir una función f(t) no periódica, definida en un intervalo (0,b), a una función periódica de paridad impar, utilizando la serie de senos de Fourier.

En esta clase se hace una introducción elemental a la función delta de Dirac.  Se apoya en el uso de las propiedades de la distribución gaussiana, así como de su gráfica, para hacer más comprensible la definición de función delta de Dirac.  Se enuncian también algunas de sus propiedades básicas y se explica cómo representar gráficamente la función delta de Dirac.

En esta clase se encuentra la serie de Fourier para un tren de impulsos unitarios (o tren de funciones delta de Dirac) a partir del conocimiento de la serie de Fourier para una función periódica particular. 

Se resuelve un segundo ejemplo de empleo de la función delta de Dirac para el cálculo de la serie de Fourier de una función periódica.  En particular se hace uso de la aproximación de la función delta de Dirac mediante una gaussiana normalizada para comprender algunos resultados importantes que se requieren aplicar para el cálculo de coeficientes de la serie de Fourier de la función de este ejemplo.

En esta clase se repasan los conceptos básicos más importantes sobre números complejos, los cuales serán de utilidad para esta sección.

En esta clase se deducen las expresiones necesarias para calcular la serie compleja de Fourier de cualquier función periódica f(t).

En esta clase se resuelve un primer ejemplo de cálculo de serie compleja para una función periódica dada.  Al final se obtiene, a partir de la serie compleja, la serie trigonométrica de la misma función y se comprueba el resultado a partir de un archivo Geogebra donde se muestra que el resultado obtenido converge hacia lo esperado.

En esta clase se encuentra la serie compleja de Fourier para la función periódica conocida como seno rectificado, la cual es muy importante en la electrónica.  En la parte final de la clase se utiliza la serie compleja encontrada para obtener la correspondiente serie trigonométrica de Fourier y se verifica el resultado obteniendo gráficamente utilizando Geogebra.

En esta clase se resuelve el último ejemplo de cálculo de serie compleja de Fourier para una función periódica.

En esta clase se presenta una introducción intuitiva, basada en gráficos, de lo que es un espectro de frecuencia y cómo interpretarlo.  La clase incluye varios archivos Geogebra adjuntos que puede descargar para poder estudiarlos con mayor detenimiento.

En esta clase se enuncia el Teorema de Parseval en su forma compleja y se muestra un ejemplo de aplicación del mismo, al cálculo de la potencia promedio disipada a través de un resistencia a la cual se le aplica un voltaje periódico.

En esta clase se repasan los experimentos de la descomposición de la luz blanca en sus colores componentes, utilizando un prisma, el cual fue realizado por Newton, y el experimento inverso de la recombinación de los colores utilizando un disco giratorio.

Los experimentos descritos en el párrafo anterior permiten hacer una analogía con el proceso de encontrar la representación trigonométrica en serie de Fourier de una función periódica f(t) y el proceso de sumas parciales que permite visualizar como se va "reconstruyendo" la función periódica f(t).

Finalmente se cuestiona si es posible realizar un proceso semejante para el caso de funciones no periódicas encontrándose, de manera intuitiva, que parece plausible el realizar tal proceso.

Se invita también al estudiante a realizar su propio experimento de análisis de un sonido no periódico, tal como el mostrado durante la clase, utilizando una aplicación disponible para teléfonos inteligentes.

En esta clase se introduce la integral de Fourier y, para hacer más entendible al estudiante su significado, se compara con la serie trigonométrica de Fourier.   

Se muestra también el análogo al proceso de realizar sumas parciales en la serie trigonométrica de Fourier, pero en este caso usando la integral de Fourier, para mostrar como esa integral da una representación integral de una función no periódica, resolviendo para esto un primer ejemplo.

En esta clase se resuelve un segundo ejemplo sobre el uso de la representación integral de Fourier de una función no periódica.

En este ejemplo también se muestra que, al igual como sucede con las funciones periódicas, es posible evitar algunos cálculos de coeficientes que finalmente serán cero, si se hace un análisis sobre la paridad que pueda tener la función no periódica.

En esta clase se resuelve un último ejemplo de utilización de la integral de Fourier para representar una función no periódica.

En esta clase se muestra que es posible, mediante la integral de Fourier, transformar una función f(t) no periódica, la cual no posee algún tipo de paridad, en una nueva función f(t), igualmente no periódica, pero con una paridad definida, ya sea par o impar, utilizando lo que se conoce como la integral de seno (o coseno) de Fourier, según se quiera que f(t) se convierta en una función no periódica de período impar (o de período par).

En esta clase se define la integral compleja de Fourier de funciones no periódicas y, mediante comparación con la serie compleja de Fourier de funciones periódicas, se muestra que la transformada de Fourier es la contraparte de los coeficientes cn de la serie compleja de Fourier, por lo que proporciona la información necesaria para obtener el espectro continuo de frecuencias de una función no periódica.

En esta clase se calcula la transformada de Fourier y el espectro de frecuencia de un pulso rectangular.

En esta clase se resuelve otro ejemplo de cálculo de transformada de Fourier para una función no periódica.  En este ejemplo se introduce la función escalón unitario, o función de Heaviside.

En esta clase se resuelve el último ejemplo de cálculo de transformada de Fourier de una función a partir de la definición de transformada de Fourier.

En esta clase se describe la tabla de Transformadas de Fourier que se utilizará para resolver ejemplos y se explican sus principales características para que el estudiante pueda utilizarla correctamente.

En esta clase se aplica la propiedad de linealidad y dos resultados de la tabla de transformada de Fourier a una función que es una combinación lineal de una gaussiana y una función racional.

En esta clase se ejemplifica el uso de la propiedad de modulación para calcular la transformada de Fourier de una función.

En esta clase se ilustra el uso de la propiedad de simetría (o de dualidad) para calcular la transformada de Fourier de una función dada.

En esta clase se ilustra el empleo de la propiedad de corrimiento en el tiempo para calcular la transformada de Fourier de una función.

En esta clase se aplica la propiedad de linealidad y la propiedad de corrimiento en el tiempo para calcular la transformada de Fourier de un doble pulso rectangular.

En esta clase se muestra cómo utilizar la propiedad de escalamiento para calcular la transformada de Fourier de una función.

En esta clase se utiliza nuevamente la propiedad de modulación para calcular la transformada de Fourier de una función, solo que ahora la función es de la forma g(t)=f(t)sin(wt).

En esta clase se muestra la relación que existe entre la paridad de una función real f(t) y la naturaleza de su transformada de Fourier.  La propiedad se ilustra utilizando dos resultados obtenidos anteriormente.

En esta clase se explica cómo usar la propiedad de inversión en el tiempo para calcular la transformada de Fourier de F{f(-t)}.

En esta clase se calculan las transformadas de Fourier de algunas funciones especiales, tales como la Delta de Dirac o la función constante, entre otros.

En esta última clase del curso se explica el tema de convolución.  Se proporciona un enlace a mi canal de YouTube donde puede encontrar la clase, tal como la impartí a mis alumnos de la universidad, dando detalles que normalmente no vienen en los libros introductorios ni tampoco en los videos que consulté, acerca de la convolución de dos señales rectangulares.  En los materiales de esta lección encontrará el enlace al video de mi canal.