Théorie des Groupes (partie 1) - Une introduction à la théorie des catégories

Ce cours est le premier d'une série de 4 cours:

• Théorie des Groupes (partie 1) - Une introduction à la théorie des catégories
• Théorie des Groupes (partie 2) - Quotients de groupe
• Théorie des Groupes (partie 3) - Actions de groupe
• Théorie des Groupes (partie 4) - Groupes abéliens et sous-groupes de Sylow

Ce cours en 4 parties est construit pour des étudiantes et étudiants qui ont déjà quelques connaissances de la théorie des groupes, mais pour s’échauffer bien la première semaine du cours, on commence par des rappels de la théorie des groupes et une introduction aux actions de groupe sur des ensembles. Nous passons ensuite à une introduction à la théorie des catégories. La notion de « catégorie » généralise simultanément aussi bien la notion de groupe que le cadre familier d’une collection d’ensembles munis d’un certain type de structure supplémentaire (telle qu’une multiplication de groupe ou l’addition et la multiplication par scalaire d’un espace vectoriel) et d’applications ensemblistes qui respectent cette structure. De résultats démontrés dans le cadre général de la théorie des catégories découlent des résultats intéressants pour chaque catégorie particulière. Le recul que l’on prend en étudiant les catégories nous permet de mieux comprendre non seulement pourquoi nous formulons certaines définitions et résultats comment nous le faisons, mais aussi comment aborder la résolution de problèmes dans un certain cadre mathématique, par analogie avec ce que nous connaissons d’autres cadres mathématiques.

Nous reverrons ensuite la notion de quotient de groupes, que nous mettrons dans un contexte catégorique plus large, pour mieux comprendre son sens. Nous formulerons et démontrerons les fameux Théorèmes d’isomorphisme, et étudierons également la notion de groupe résoluble, une classe de groupes « décomposables » d’une certaine manière en morceaux qui sont tous des groupes abéliens.

Le prochain sujet sera les actions de groupe, de nouveau d’un point de vue catégorique, ce qui nous permet de voir comment généraliser cette notion au-delà des actions sur des ensembles. Ces généralisations sont des sujets de recherche très actifs actuellement. La théorie des catégories nous permettra de généraliser correctement les notions d’orbites et de points fixes et de voir comment construire des actions de groupe « librement ».

Ensuite nous aborderons les groupes abéliens, de nouveau en insistant sur la perspective catégorique, ce qui nous permettra en particulier de clarifier le rôle de la somme directe et de construire de groupes abéliens libres. On verra aussi la notion utile d’une suite exacte de groupes abéliens, et les concepts de torsion, de divisibilité, et de p-groupe abélien, qui joueront un rôle clé dans notre preuve de la classification des groupes abéliens finis, résultat par lequel nous terminerons ce chapitre.

Nous irons au cœur de la théorie de groupes dans le dernier chapitre, qui traite des p-groupes de Sylow. Grâce à des outils provenant de la théorie des actions de groupe, nous pourrons démontrer l’existence de ces sous-groupes importants d’un groupe fini et établir de très belles propriétés qu’ils vérifient.