Álgebra Lineal IV – Transformaciones Lineales

En esta clase se explica el concepto de lo que es una Transformación Lineal planteando una analogía a las funciones de variable real. Se muestran transformaciones de Vectores en Vectores , de vectores en polinomios, y otras variantes.

Explicación de cómo realizar la verificación de las condiciones que debe cumplir una Transformación para que sea Lineal. Ejemplos con Vectores y Polinomios.

Explicación de cómo expresar una Transformación Lineal cualquiera como producto de matrices. Justificación de la libre interpretación de equivalencias entre vectores y matrices y polinomios.

¿Cuáles son los subespacios vectoriales vinculados a una Transformación Lineal?. ¿Qué es el Núcleo y qué es la imagen de una Transformación Lineal, cómo buscar sus bases y dimensiones?

¿Qué debemos interpretar cuando no hablan de un Cambio de Base? Explicación mediante un “ejemplo práctico” de que son las coordenadas en una base distinta de la canónica. Cómo interpretar los cambio de base a las Transformaciones Lineales.

Ejemplo de cómo interpretar y resolver un Cambio de Base mediante productos matriciales. Representación en diagramas de conjuntos.

Aplicación de este teorema fundamental y de las propiedades básicas de las Transformaciones Lineales para obtener la expresión de un Transformación Lineal a partir de los transformados de cierto conjunto de vectores.

Explicación de cómo hallar una Transformación Lineal a partir de los transformado de una base (Teorema Fundamental) y el concepto de Cambio de Base.

Resolución de un ejemplo dónde se debe aplicar un cambio de base y hallar la Matriz correspondiente a la Transformación Lineal en las nuevas bases.

En este video tomamos una Transformación Lineal sencilla y buscamos su matriz y las características de su núcleo y de su imagen.

Analizamos en este video como interpretar la búsqueda de pre-imagenes, el núcleo y la Imagen de una Transformación Lineal. También verificamos el Teorema de las dimensiones.

Ejercicio dónde se muestra como buscar (e interpretar) espacios vectoriales de polinomios y de la Transformación Lineal que convierte esos polinomios en vectores.

Ejercicio completo donde se utilizan cambios de base y matrices de la Transformación Lineal para llegar a la expresión de la Transformación Lineal en las nuevas bases.

Ejercicio donde dada una matriz de una Transformación Lineal en bases no canónicas se llega a la matriz y la expresión de la Transformación Lineal en las bases canónicas de cada espacio (el de partida y el de llegada).

Resolución de un ejercicio típico de examen donde aplicando cambios de base, el teorema fundamental y las expresiones matriciales podemos hallar la expresión de la Transformación Lineal que cumple con las condiciones impuestas en el enunciado.

Resolución de dos ejercicios típicos de examen donde aplicando cambios de base, el teorema fundamental y las expresiones matriciales podemos hallar la expresión de la Transformación Lineal que cumple con las condiciones impuestas en el enunciado.

Determinación de la expresión de una Transformación Lineal a partir de la imposición de condiciones a su núcleo y a su imagen. Utilización del Teorema de las Dimensiones para determinar la inexistencia de una Transformación Lineal.

Este es otro ejercicio típico de examen. Se debe resolver mediante la aplicación del teorema Fundamental, cambio de base, expresiones matriciales y otros aspectos de las Transformaciones Lineales.

Clasificación de Transformaciones Lineales según sean Monomorfismos, Epimorfismos e Isomorfismos.

Ejercicio típico dónde se clasifican varias Transformaciones Lineales de manera ágil apoyándonos en el teorema de las dimensiones.

Ejemplo y explicación de la aplicación del Teorema Fundamental de las Transformaciones Lineales para determinar la matriz y luego la expresión funcional de una Transformación Lineal.

Explicación de cómo obtener la matriz y la expresión de este tipo de Transformaciones Lineales desarrolladas en el plano. Se aplica el Teorema Fundamental y se calcula la matriz y la expresión de la Transformación Lineal.

Análisis de un tipo de transformación fundamental que consiste en rotar los vectores o puntos alrededor del origen de coordenadas. Se aplica el Teorema Fundamental y se calcula la matriz y la expresión de la Transformación Lineal.

Análisis elemental de una Transformación Lineal típica del manejo de elementos gráficos (escalamiento). Buscamos su expresión a través del Teorema Fundamental y de la matriz asociada a la Transformación Lineal.

Análisis de la existencia de una transformación inversa en el caso de los isomorfismos. Relación con la inversa de la matriz de la transformación.

Planteo y explicación de la composición de Transformaciones Lineales. Se explica cómo hallar la matriz correspondiente a la composición.

Desarrollo y análisis de un ejemplo típico y sencillo de composición de Transformaciones Lineales. Se resuelve de dos formas distintas: una mediante las expresiones matriciales y otra mediante el clásico “método de sustitución”

Resolución de un ejercicio dónde se halla la inversa de una Transformación Lineal y se la compone con la propia transformación.

Resolución de un ejercicio dónde se plantea hallar la preimagen de un vector a partir del uso de la transformación inversa.

Análisis de cómo resolver e interpretar los resultados de un caso donde debemos hallar la preimagen de un vector a través de una Transformación Lineal que no es un isomorfismo, es decir , que no tiene inversa.

Ejercicio sencillo donde se busca la expresión de la Transformación Lineal inversa.

Ejercicio resuelto paso a paso dónde se comprueba la existencia (o no) de la inversa de una composición de Transformaciones Lineales. Todo el análisis se hace mediante las expresiones matriciales.

En este ejercicio se analizan las transformaciones lineales inversas y la composición de estas. Se determina si existen o no las inversas de la s transformaciones compuestas.