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Analyse I (partie 1)

Prélude, notions de base, les nombres réels

Peter Wittwer

Vous savez calculer la valeur de sin(π/4)? L'identité ln(xy)=ln(x)+ln(y) vous paraît familière? Dans le prélude nous rappelons et approfondissons quelques notions de ce type, en particulier les fonctions trigonométriques sin, cos et tan et leurs propriétés, le concept des fonctions réciproques telles que exp et ln, certaines règles de calcul concernant les puissances, les logarithmes et les racines, les ensembles et les fonctions. Après nous discutons les systèmes de nombres: basé sur la notion "intuitive" des entiers naturels N={0,1,2,3,...}, nous définissons d'une manière rigoureuse les nombres rationnels Q. Nous terminons la discussion des nombres rationnels Q. Ce faisant, nous remarquons que certaines équations très simples, telles que x^2=2, n'admettent pas de solution dans Q. Ceci est une des motivations pour introduire un système de nombres plus grand: les nombres réels R. Nous donnons la définition axiomatique des nombres réels et étudions leurs propriétés.

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What's inside

Learning objectives

Concept des ensembles
Produit cartésien
Classes d’équivalence
Concept des nombres

Les nombres rationnelles
Axiomes des nombres réels
Concept de fonction
Concept de la fonction réciproques

Concept des ensembles
Produit cartésien
Classes d’équivalence
Concept des nombres
Les nombres rationnelles
Axiomes des nombres réels
Concept de fonction
Concept de la fonction réciproques

Syllabus

Prélude ( = Chapitre ‐1 )

Fonctions élémentaires (exemples)

Paires de fonctions réciproques (exemples)

Puissances, racines, logarithmes (règles de calcul)

Chapitre 0 : Notions de base

0.1 Ensembles

0.2 Classes d'équivalence

0.3 Fonctions, concepts de base

0.4 Fonctions, concepts additionnels

0.5 Les entiers

0.6 Notations et identités

0.7 Les nombres rationnels, concepts de base

Chapitre 1 : Les nombres réels R

1.1 Les nombres rationnels, propriétés

1.2 Introduction axiomatique de R

1.3 Infimum

1.4 Supremum

1.5 Nombre réels, sqrt(2)

1.6 Sous‐ensembles de R

1.7 Valeur absolue

1.8 Propriétés additionnelles de R

Good to know

Know what's good

, what to watch for

, and possible dealbreakers

Mets les bases d'un domaine indispensable à la pensée critique et à la résolution de problèmes dans de nombreux domaines

Développe des compétences mathématiques fondamentales et crée une base solide pour l'apprentissage futur en mathématiques

Explore les concepts mathématiques de base, établissant une base solide pour des études plus avancées

Couvre les préliminaires et les fondements des mathématiques, ouvrant la voie à d'autres concepts avancés

Fait appel à des étudiants ayant un vif intérêt pour les mathématiques et une bonne maîtrise des concepts de base

Nécessite une certaine expérience préalable en mathématiques, ce qui peut constituer une barrière pour les débutants

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Activities

Be better prepared before your course. Deepen your understanding during and after it. Supplement your coursework and achieve mastery of the topics covered in Analyse I (partie 1) : Prélude, notions de base, les nombres réels with these activities:

Compile a notebook or digital document to organize notes, assignments, and practice problems

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Staying organized can help you stay on top of the course material and improve your learning efficiency.

Browse courses on Note-Taking

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Gather all your course materials, including notes, assignments, and practice problems.
Create a system for organizing your materials, such as using a notebook, binder, or digital document.
Regularly review and update your organized materials.

Review of basic trigonometric identities

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Begin by reviewing basic trigonometric identities, such as the sum and difference formulas, double and half-angle formulas, product-to-sum and sum-to-product formulas.

Browse courses on Trigonometric Identities

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Recall the definitions of sine, cosine, and tangent.
Derive the Pythagorean identity.
Apply the Pythagorean identity to derive other trigonometric identities.

Review Functions and their inverses

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Reviewing functions and their inverses will help you succeed in this course as it covers topics such as sin, cos, tan and their properties.

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Review the definitions of functions and their inverses.
Practice finding the inverse of a function.
Practice composing functions and finding the inverse of the composition.
Apply your knowledge of functions and their inverses to solve problems.

13 other activities

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Review definitions and properties

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Start with the basics by reviewing the fundamental definitions and properties introduced in the prelude and Chapter 0.

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Define basic trigonometric functions (sin, cos, tan).
Explain the concept of sets and equivalence classes.
Describe the properties of rational numbers.

Participate in study sessions with classmates

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Participating in study sessions with classmates will provide opportunities to discuss concepts, solve problems together, and reinforce your understanding.

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Quiz each other on the concepts.
Find a group of classmates to study with.
Choose a topic or set of problems to focus on.
Meet regularly to discuss the material.
Work together to solve problems.

Create a concept map on real numbers

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Creating a concept map on real numbers will help you organize and visualize your understanding of the system of real numbers.

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Identify the key concepts related to real numbers.
Create a hierarchical structure for the concepts.
Draw connections between the concepts using arrows or lines.
Label the connections with appropriate terms or explanations.
Review and refine your concept map.

Explore the Numberphile videos on number theory

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Watching Numberphile videos on number theory will expose you to engaging and accessible content that can supplement your understanding of the subject.

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Visit the Numberphile YouTube channel.
Search for videos related to number theory.
Watch the videos and take notes on the concepts presented.
Discuss the videos with classmates or online forums.

Practice with logarithmic equations

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Practicing with logarithmic equations will help you succeed in this course as it covers properties of logarithms and their application in solving equations.

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Review the properties of logarithms.
Practice solving logarithmic equations using properties.
Practice solving logarithmic equations using substitution.
Apply your knowledge of logarithmic equations to solve problems.

Practice problems on solving trigonometric equations

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Solving trigonometric equations requires practice and familiarity with the different trigonometric identities.

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Start with simple equations involving a single trigonometric function.
Gradually increase the complexity of the equations by combining multiple trigonometric functions.
Use a variety of techniques, such as factoring, substitution, and the quadratic formula, to solve the equations.

Les règles de calcul pour les fonctions élémentaires

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Regardez des tutoriels vidéo explicatifs pour mieux comprendre les règles de calcul des fonctions élémentaires telles que sin, cos et tan.

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Trouver des tutoriels sur les règles de calcul des fonctions élémentaires
Regarder les tutoriels et prendre des notes
Résoudre des exercices pratiques pour appliquer les règles apprises

Join a study group to discuss trigonometric concepts and solve problems together

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Engaging in peer discussions can help reinforce your understanding and identify areas where you need further clarification.

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Find a study group or form one with classmates.
Meet regularly to discuss course material, solve problems, and quiz each other.
Share your knowledge and perspectives with others.

Form study groups to discuss challenging concepts

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Enhance your understanding by collaborating with peers in study groups, discussing difficult concepts, sharing perspectives, and working through problems together.

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Find classmates who are interested in forming a study group.
Set regular meeting times and establish a communication channel.
Choose challenging concepts to discuss and prepare questions beforehand.

Exercices sur les fonctions trigonométriques

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Pratiquez régulièrement les fonctions trigonométriques en résolvant des exercices de calcul et d'application.

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Trouver des exercices sur les fonctions trigonométriques
Résoudre les exercices, en vérifiant les réponses
Analyser les erreurs et chercher de l'aide si nécessaire

Attend a workshop on mathematical problem-solving

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Attending a workshop on mathematical problem-solving will provide you with strategies and techniques to approach and solve complex mathematical problems.

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Identify a workshop on mathematical problem-solving.
Register for the workshop.
Attend the workshop and actively participate.
Take notes and ask questions during the workshop.
Apply the strategies and techniques learned in the workshop to your coursework.

Create a mind map of the different types of trigonometric functions

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Creating a mind map can help you visualize the relationships between different trigonometric functions and their properties.

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Start by listing the six trigonometric functions: sine, cosine, tangent, cotangent, secant, and cosecant.
Connect the functions using branches to show their relationships.
Include the definitions, graphs, and key properties of each function.

Watch video tutorials on the applications of trigonometry in real-world scenarios

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Watching video tutorials can help you understand how trigonometry is used in various fields.

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Search for video tutorials on specific applications of trigonometry, such as navigation, surveying, or engineering.
Take notes on the key concepts and examples presented in the tutorials.
Apply what you have learned to solve real-world problems.

Career center

Learners who complete Analyse I (partie 1) : Prélude, notions de base, les nombres réels will develop knowledge and skills that may be useful to these careers:

Mathématicien

En tant que mathématicien, vous utiliserez des concepts mathématiques pour résoudre des problèmes dans divers domaines, notamment la finance, la science et l'ingénierie. Ce cours vous fournira les bases mathématiques nécessaires pour poursuivre des recherches en mathématiques. Vous apprendrez les concepts de fonctions, de fonctions réciproques et de nombres réels, qui sont essentiels pour comprendre les structures mathématiques fondamentales. De plus, la compréhension des axiomes des nombres réels et des propriétés des nombres rationnels vous permettra de construire des théories mathématiques rigoureuses.

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Professeur de mathématiques

En tant que professeur de mathématiques, vous enseignerez les concepts mathématiques aux élèves de tous âges. Ce cours vous fournira les bases mathématiques nécessaires pour enseigner efficacement les mathématiques. Vous apprendrez les concepts de fonctions, de fonctions réciproques et de nombres réels, qui sont essentiels pour comprendre les structures mathématiques fondamentales. De plus, la compréhension des axiomes des nombres réels et des propriétés des nombres rationnels vous permettra d'expliquer clairement les concepts mathématiques aux élèves.

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Physicien

En tant que physicien, vous utiliserez des concepts mathématiques pour comprendre et décrire les phénomènes physiques. Ce cours vous fournira les bases mathématiques nécessaires pour poursuivre des recherches en physique. Vous apprendrez les concepts de fonctions, de fonctions réciproques et de nombres réels, qui sont essentiels pour modéliser et analyser les systèmes physiques. De plus, la compréhension des axiomes des nombres réels et des propriétés des nombres rationnels vous permettra de développer des théories physiques rigoureuses.

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Actuaire

En tant qu'actuaire, vous évaluerez les risques financiers et développerez des plans pour gérer ces risques. Ce cours vous fournira les bases mathématiques nécessaires pour comprendre les concepts fondamentaux de l'actuariat, tels que la théorie des probabilités, la statistique et la finance. La compréhension des fonctions, des fonctions réciproques et des nombres réels vous permettra de développer des modèles précis et fiables pour évaluer les risques financiers.

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Statisticien

En tant que statisticien, vous collecterez, analyserez et interpréterez des données pour résoudre des problèmes dans divers domaines, notamment la santé, les affaires et la recherche scientifique. Ce cours vous fournira les bases mathématiques nécessaires pour comprendre les concepts fondamentaux de la statistique, tels que la théorie des probabilités, l'inférence statistique et l'analyse de régression. La compréhension des fonctions, des fonctions réciproques et des nombres réels vous permettra de développer des modèles statistiques précis et fiables pour analyser les données.

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Ingénieur financier

En tant qu'ingénieur financier, vous développerez et mettrez en œuvre des modèles mathématiques et des algorithmes pour résoudre des problèmes financiers. Ce cours vous fournira les bases mathématiques nécessaires pour comprendre les concepts fondamentaux de la finance, tels que la modélisation des risques, l'optimisation de portefeuille et la tarification des dérivés. La compréhension des fonctions, des fonctions réciproques et des nombres réels vous permettra de développer des modèles précis et fiables pour analyser les marchés financiers.

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Analyste quantitatif

En tant qu'analyste quantitatif, vous utiliserez des modèles mathématiques et statistiques pour résoudre des problèmes financiers. Ce cours vous fournira les bases mathématiques nécessaires pour comprendre les concepts fondamentaux de l'analyse quantitative, tels que les séries temporelles, les processus stochastiques et les méthodes de Monte-Carlo. La compréhension des fonctions, des fonctions réciproques et des nombres réels vous permettra de développer des modèles précis et fiables pour analyser les marchés financiers.

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Analyste de recherche

En tant qu'analyste de recherche, vous effectuerez des recherches sur des entreprises, des industries et des marchés pour fournir des recommandations d'investissement. Ce cours vous fournira les bases mathématiques nécessaires pour comprendre les concepts fondamentaux de l'analyse financière, tels que la modélisation financière, l'analyse de sensibilité et la gestion des risques. La compréhension des fonctions, des fonctions réciproques et des nombres réels vous permettra de développer des modèles financiers précis et fiables pour évaluer les investissements.

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Analyste financier

En tant qu'analyste financier, vous aiderez les entreprises et les particuliers à prendre des décisions d'investissement éclairées. Ce cours vous fournira les bases mathématiques nécessaires pour comprendre les marchés financiers et effectuer des analyses financières. Vous apprendrez les concepts de fonctions, de fonctions réciproques et de nombres réels, qui sont essentiels pour modéliser et analyser les données financières. De plus, la compréhension des axiomes des nombres réels et des propriétés des nombres rationnels vous permettra de comprendre les fondements de la théorie financière.

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Data Analyst

En tant que data analyst, vous collecterez, analyserez et interpréterez des données pour aider les entreprises à prendre des décisions éclairées. Ce cours vous fournira les bases mathématiques nécessaires pour comprendre les concepts fondamentaux de l'analyse de données, tels que la statistique descriptive, l'apprentissage automatique et la visualisation des données. La compréhension des fonctions, des fonctions réciproques et des nombres réels vous permettra de développer des modèles précis et fiables pour analyser les données.

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Data Scientist

En tant que data scientist, vous utiliserez des techniques mathématiques et statistiques pour analyser et interpréter des données. Ce cours vous fournira les bases mathématiques nécessaires pour comprendre les concepts fondamentaux de la science des données, tels que l'apprentissage automatique, l'analyse statistique et le traitement du langage naturel. La compréhension des fonctions, des fonctions réciproques et des nombres réels vous permettra de développer des modèles précis et fiables pour analyser les données.

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Ingénieur logiciel

En tant qu'ingénieur logiciel, vous concevrez, développerez et testerez des logiciels. Ce cours vous fournira les bases mathématiques nécessaires pour comprendre les concepts fondamentaux de l'informatique, tels que la logique, les structures de données et les algorithmes. La compréhension des fonctions, des fonctions réciproques et des nombres réels vous permettra de développer des logiciels robustes et efficaces.

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Comptable

En tant que comptable, vous préparerez et analyserez les états financiers des entreprises. Ce cours vous fournira les bases mathématiques nécessaires pour comprendre les concepts fondamentaux de la comptabilité, tels que les principes comptables, les normes d'information financière et l'audit. La compréhension des fonctions, des fonctions réciproques et des nombres réels vous permettra de préparer et d'analyser des états financiers précis et fiables.

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Ingénieur civil

En tant qu'ingénieur civil, vous concevrez, construirez et entretiendrez des structures telles que des ponts, des routes et des bâtiments. Ce cours vous fournira les bases mathématiques nécessaires pour comprendre les concepts fondamentaux du génie civil, tels que la mécanique des fluides, la mécanique des sols et la résistance des matériaux. La compréhension des fonctions, des fonctions réciproques et des nombres réels vous permettra de développer des modèles précis et fiables pour concevoir et analyser les structures.

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Ingénieur électricien

En tant qu'ingénieur électricien, vous concevrez, développerez et testerez des systèmes électriques. Ce cours vous fournira les bases mathématiques nécessaires pour comprendre les concepts fondamentaux de l'électrotechnique, tels que les circuits électriques, l'électromagnétisme et le traitement du signal. La compréhension des fonctions, des fonctions réciproques et des nombres réels vous permettra de développer des systèmes électriques sûrs et efficaces.

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Reading list

We've selected 14 books that we think will supplement your learning. Use these to develop background knowledge, enrich your coursework, and gain a deeper understanding of the topics covered in Analyse I (partie 1) : Prélude, notions de base, les nombres réels.

Real Analysis for Graduate Students

Save

Ce livre fournit une introduction complète et rigoureuse à l'analyse réelle, en commençant par les axiomes des nombres réels et en progressant jusqu'aux sujets avancés tels que la mesure et l'intégration. Il est particulièrement adapté aux étudiants diplômés.

Analyse I (partie 1)

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